Analysis of a fully discrete Fourier pseudospectral method for the Rosenau equation

Abstract

In this thesis study, we consider the Rosenau equation with a single power type nonlinear term. The Rosenau equation is proposed as an alternative to the celebrated Korteweg–de Vries (KdV) equation. It describes the propagation of nonlinear waves in anharmonic crystal lattices. This equation possesses solitary wave solutions when the order of nonlinear term and wave speed is greater than 1. However, an exact solution is not available in the literature when the nonlinear term is single power type. Therefore, the numerical investigation of the equation becomes important to understand the dynamics of the waves. There are many numerical studies in the literature mostly using the finite difference and finite element methods. Moreover, most of these studies focus on the numerical analysis of the scheme and do not present numerical results. In this work, we present a numerical scheme combining the Fourier pseudospectral method and second order finite difference method. We also present the truncation error and stability analysis of the proposed scheme. We then introduce some numerical results to verify the theoretical analysis. For this aim, we derive initial solitary wave profiles with the Petviashvili iteration method. Then, we observe the evolution of these solutions using the proposed scheme.Bu tez çalışmasında Rosenau denklemi tek bir doğrusal olmayan terim içerdiği durumda incelenmektedir. Rosenau denklemi Korteweg–de Vries (KdV) denklemine alternatif olarak önerilmiştir. Harmonik olmayan kristal latislerdeki (kafeslerdeki) dalgaların hareketini betimlemektedir. Bu denklem doğrusal olmayan terimin derecesi ve dalganın hızı birden büyük olduğu durumda soliter (yalnız) dalga çözümlerine sahiptir. Fakat bu soliter dalga çözümlerinin açık formu bilinmemektedir. Bu yüzden sayısal incelemeler dalgaların dinamiğini anlamak için oldukça önemlidir. Literatürde bu denklem ağırlıklı olarak sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemleriyle çalışılmıştır fakat bu çalışmalar genel olarak önerilen sayısal şemanın yakınsaklık analizi üzerinedir, sayısal sonuçlar içermemektedir. Bu çalışmada Fourier pseudospektral ve sonlu farklar yöntemlerini birleştiren bir sayısal şema önerilmektedir. Ardından, önerilen sayısal şemanın yakınsaklık ve stabilite analizi yapılmaktadır. Teorik analizi doğrulamak için bazı sayısal sonuçlar ayrıca verilmiştir. Bu amaçla denklemin başlangıç soliter (yalnız) dalga profilleri Petviashvili yöntemiyle üretilmiştir. Ardından önerilen sayısal şema kullanılarak bu profillerin zamanda ilerlemesi gözlemlenmiştir.